R) 통계 - Levene 검정

R) 통계 - Levene 검정

R에서 다중 집단의 등분산 검정이 가능한 Levene 검정을 알아본다.


Statistics

개요

등분산 검정중 하나인 Levene 검정은 집단간 분산이 같은지 다른지 여부를 알아볼 때 사용하기도 하고 독립 2표본 t-검정 또는 일원분산분석(one-way ANOVA) 실시 전에 가정 때문에 확인하는 용도로 사용하기도 한다. 그리고 Levene 검정은 두 집단 뿐만 아니라 세 집단 이상에서도 사용할 수 있으며 Bartlett 검정과 달리 표본이 정규성을 보이지 않아도 사용할 수 있다.

집단의 분포 특성에 따라 대표값을 평균, 중앙값, 절사평균값 셋 중에 하나로 설정하여 검정을 실시한다. 평균을 대표값으로 사용하는 경우는 정규분포처럼 표본 분포가 좌우 대칭(symmetric)이고 한쪽으로 치우친 분포가 아닐때(moderate-tail) 사용하고, 중앙값을 대표값으로 사용하는 경우는 카이제곱분포처럼 표본 분포가 한쪽으로 치우쳐져 있을 때 사용하고, 절사평균을 대표값으로 사용하는 경우는 표본 분포가 코시 분포(Cauchy distribution)와 같이 꼬리가 두꺼운 경우에 사용한다.


통계량

검정통계량 $W$는 다음과 같이 계산한다.

$$ W = \frac{(N-k)} {(k-1)} \times \frac{\sum_{i=1}^{k}N_{i}(\bar{Z}_{i}-\bar{Z})^{2} }{\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{N_i}(Z_{ij}-\bar{Z}_{i})^{2} } $$

단, 여기서 $Z_ij$는 집단의 분포 특성에 기반하여 선택하는 대표값에 따라 계산 식이 달라진다.

● 평균: $Z_{ij} = |Y_{ij} - \bar{Y}_{i}|$ (단, $\bar{Y}_i$는 i번째 부분 집단의 평균)
● 중앙값: $Z_{ij} = |Y_{ij} - \tilde{Y}_{i}|$ (단, $\tilde{Y}_i$는 i번째 부분 집단의 중앙값)
● 절사평균: $Z_{ij} = |Y_{ij} - \bar{Y}_{i}'|$ (단, $\bar{Y}_i'$는 i번째 부분 집단의 절사평균)

가설

- 귀무가설($H_0$): 집단간 분산이 같다.
- 대립가설($H_1$): 적어도 두 집단간 분산이 다르다.


연산

함수 및 인자

car 패키지의 leveneTest() 함수의 설정은 다음과 같다.

● y: 종속변수(formula 입력 가능)
● group: 독립변수
● center: 집단의 대표값 설정
● data: formula 사용시 데이터프레임 할당

Center 의 상세 설명은 다음과 같다.
- MEAN: Classical Levene’s Test 방법으로 평균을 기준으로 검정
- MEDIAN: Robust Brown-Forsythe 방법으로 중앙값을 기준으로 검정
※ 분포의 평균값이 대표값이라고 판단하기 어려운 경우
- TRIMMED: Levene-type Test 방법으로 절사평균(trimmed mean)을 기준으로 검정
※ 상, 하위 극단치 제거가 필요한 경우

참고로 car 패키지에는 levene.test() 함수가 있으나 이는 이제 사용하지 않는 함수이기 때문에 사용에 주의하도록 하자.

실행 및 결과

leveneTest() 함수를 사용한 결과는 다음과 같다.

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df = iris
head(df, 2)
## Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
## 1 5.1 3.5 1.4 0.2 setosa
## 2 4.9 3.0 1.4 0.2 setosa

library("car")
leveneTest(y = df$Sepal.Length, df$Species)
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
## Df F value Pr(>F)
## group 2 6.3527 0.002259 **
## 147
## ---
## Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

결과 중 F value 는 검정통계량이고 Pr(>F) 는 p-value인데 이때 p-value가 0.002259로 유의수준 $\alpha$가 5%(0.05)일 때, p-value가 유의수준보다 작기 때문에 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택하여 적어도 두 집단간 분산이 다르다고 할 수 있다.

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